5.2 Définition

Avant d’aborder le déterminant, nous devons aussi introduire la notion d’inversion d’une permutation.

Soit \(\sigma \in S_n\). La paire \((i,j)\) est une inversion de \(\sigma\) si \(i < j\) et \(\sigma(i) > \sigma(j).\) (À ne pas confondre avec la permutation inverse discuté au préalable.)

Le nombre total d’inversions de \(\sigma\) est dénoté par \(\text{inv}(\sigma)\).

Exemple 5.3 Considérons \(\sigma = \begin{pmatrix} 1& 2&3\\ 3&1 &2\end{pmatrix}\). La paire \((1,2)\) est une inversion de \(\sigma\) car on a \(1 < 2\) et \(\sigma(1) = 3 > 1 = \sigma(2).\) L’autre inversion est donnée par la paire \((1,3)\). Donc \(\text{inv}(\sigma) = 2\).

Exemple 5.4 Soit \(\sigma \in S_n\) pour laquelle éxiste \(i,j \in \{1,\ldots, n\}\), \(i < j\) tels que \(\sigma(i) = j\), \(\sigma(j) = i\), et \(\sigma(k) = k\) pour tout les autres indices. Nous voulons déterminer \(\text{inv}(\sigma)\).

Notons que pour chaque \(k = i+1,\ldots,j-1\), \((i,k)\) est une inversion car \(i < k\) et \(\sigma(i) = j > k = \sigma(k).\)

De plus, pour chaque \(k = i+1,\ldots,j-1\), \((k,j)\) est une inversion car \(k < j\) et \(\sigma(k) = k > i = \sigma(j).\)

Finalement, la paire \((i,j)\) est également une inversion. Ainsi, \[\text{inv}(\sigma) = 2(j-1-(i+1)+1) + 1 = 2(j-i)-1,\] qui est toujours impair.

Par exemple, les inversions de \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 &2 & 5 \end{pmatrix}\) sont \((2,3)\), \((3,4)\) et \((2,4)\).

Pour \(\mathbf{A} \in S^{n\times n}\), \(S\) un anneau, le déterminant de \(\mathbf{A}\), dénoté par \(\det(\mathbf{A})\), est défini par \[\sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\text{inv}(\sigma)} a_{1,\sigma(1)}\cdots a_{n,\sigma(n)},\] où \(a_{i,j}\) dénote l’élément de la \(i\)-ième ligne et de la \(j\)-ième colonne de \(\mathbf{A}\).

Le calcul du déterminant tel que défini requiert la somme de \(n!\) termes. Chacun de ces termes dépend d’une permutation de \(S_n\) et du produit de \(n\) éléments de \(\mathbf{A}\), et le signe dépend de la parité du nombre d’inversion de la permutation. (La parité d’un entier relatif nous indique si le nombre est pair ou impair.)

Notons que même lorsque la taille de la matrice est petite, le nombre de termes à calculer devient rapidement trop élevé. Par exemple, si \(n = 5\), il y a déjà \(5\times 4 \times 3 \times 2\times 1=120\) termes. Fort heureusement, il existe des méthodes efficaces de calcul de déterminant qui ne demandent pas autant de termes.

5.2.1 Déterminant de matrices de petite taille

Dans le cas des matrices de taille \(2\times 2\) ou \(3\times 3\), il y a des formules permettant de simplifier les calculs.

Soient \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}\). Les deux permutations de \(S_2\) sont \(\sigma_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\1 & 2\end{pmatrix}\) et \(\sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\2 & 1 \end{pmatrix}\). Puisque \(\text{inv}(\sigma_1) = 0\) et \(\text{inv}(\sigma_2) = 1\), nous avons \[\det(\mathbf{A}) = (-1)^{\text{inv}(\sigma_1)} a_{1,\sigma_1(1)} a_{2, \sigma_1(2)} + (-1)^{\text{inv}(\sigma_2)} a_{1,\sigma_2(1)} a_{2, \sigma_2(2)} = ad - bc.\]

Soient \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} p_1 & p_2 & p_3 \\ q_1 & q_2 & q_3 \\ r_1 & r_2 & r_3 \end{bmatrix}\). Les six permutations de \(S_3\) sont énumérées dans le tableau suivant.

\(i\) 1 2 3
\(\sigma_i\) \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\1 & 2 & 3\end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\1 & 3 & 2\end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\2 & 1 & 3\end{pmatrix}\)
\(\text{inv}(\sigma_i)\) 0 1 1
\((-1)^{\text{inv}(\sigma_i)}\) 1 -1 -1
\(i\) 4 5 6
\(\sigma_i\) \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\3 & 1 & 2\end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\3 & 2 & 1\end{pmatrix}\)
\(\text{inv}(\sigma_i)\) 2 2 3
\((-1)^{\text{inv}(\sigma_i)}\) 1 1 -1

Alors \[\begin{align*} \det(A) & = \sum_{i = 1}^6 (-1)^{\text{inv}(\sigma_i)} a_{1,\sigma_i(1)} a_{2, \sigma_i(2)} a_{3,\sigma_i(3)} \\ & = p_1q_2r_3 - p_1q_3r_2 - p_2q_1r_3 + p_2q_3r_1 + p_3q_1r_2 - p_3q_2r_1. \end{align*}\]

5.2.2 Convention d’écriture

Au lieu d’écrire \(\det\left(\begin{bmatrix} a & b &c \\ d & e & f\\ p & q & r\end{bmatrix}\right)\), on écrit simplement \(\left|\begin{matrix} a & b &c \\ d & e & f\\ p & q & r\end{matrix}\right|\).

Exercices

  1. Pour chacune des permutations suivantes, donnez le nombre d’inversions.

    1. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 2 & 4\end{pmatrix}\)

    2. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 4& 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\)

    3. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 5 & 1 & 4 & 2 &3\end{pmatrix}\)

  2. Calculez le déterminant de chacune des matrices suivantes :

    1. \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2\end{bmatrix}\)

    2. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & c & d\end{bmatrix}\)

    3. \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & p \\ q & 0 & 0 \\ 0 & r & 0\end{bmatrix}\)

  3. Soient \(\mathbf{A}\) et \(\mathbf{B}\) des matrices de taille \(n \times n\) telles que \(\mathbf{B}\) est obtenue de \(\mathbf{A}\) en multipliant une ligne de \(\mathbf{A}\) par le scalaire \(\alpha\). Démontrez que \(\det(\mathbf{B}) = \alpha \det(\mathbf{A})\).

Solutions

    1. Le nombre d’inversions est 1.

    2. Le nombre d’inversions est 6.

    3. Le nombre d’inversions est 6.

    1. 1

    2. \(ad - bc\)

    3. \(pqr\)

  3. Supposons que \(\mathbf{B}\) soit obtenue de \(\mathbf{A}\) en multipliant la \(i\)-ième ligne par \(\alpha\). Alors \[\begin{align*} \det(\mathbf{B}) & = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\text{inv}(\sigma)} \prod_{p = 1}^n b_{p,\sigma(p)} \\ & = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\text{inv}(\sigma)} \left(\prod_{p \neq i} a_{p,\sigma(p)}\right) \left(\alpha a_{i,\sigma(i)}\right) \\ & = \alpha \left( \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\text{inv}(\sigma)} \prod_{p = 1}^n a_{p,\sigma(p)}\right) \\ & = \alpha \det(\mathbf{A}). \end{align*}\]