5.3 Matrices spéciales
5.3.1 Matrices ayant une ligne ou une colonne nulle
Soit \(\mathbf{A}\) une matrice carré ayant une ligne ou une colonne nulle. Alors \(\det(\mathbf{A}) = 0\). En effet, notons que chaque terme de la définition de \(\det(\mathbf{A})\) est une produit de la forme \(a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} \cdots a_{n,\sigma(n)}\), pour une permutation \(\sigma\). Ainsi, chaque terme contient exactement un élément de chaque ligne et de chaque colonne de \(\mathbf{A}\), ce qui implique que chaque terme est nul, ce qui implique que \(\det(\mathbf{A}) = 0\).
5.3.2 Matrices de permutations
Une matrice de permutation de taille \(n\times n\) est une matrice obtenue de la matrice identité \(\mathbf{I}_{n}\) en permutant ses lignes. Par exemple, \(\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\) est une matrice de permutation.
Comme son nom le suggère, une telle matrice permet d’encoder directement une permutation de l’ensemble \(\{1,\ldots,n\}\). L’interprétation est la suivante : si \(\sigma\) est encodée par la matrice de permutation, alors \(\sigma(i)\) est l’indice de la colonne de l’élément contenant \(1\) à la \(i\)-ième ligne. Dans l’exemple ci-dessus, la permutation correspondante est \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}\) car dans la ligne 1, la colonne 2 contient 1; dans la ligne 2, la colonne 4 contient 1; dans la ligne 3, la colonne 1 contient 1; dans la ligne 4, la colonne 3 contient 1.
Pour une matrice de permutation \(\mathbf{P}\) donnée qui encode \(\sigma\), le déterminant de \(\mathbf{P}\) est tout simplement \((-1)^{\text{inv}(\sigma)}\). À l’exemple ci-dessus, il y a trois inversions. Donc, le déterminant est \((-1)^3 = -1\).
Ce résultat se voit directement à partir de la définition du déterminant : chaque terme de la somme contient un facteur \((-1)^{\text{inv}(\sigma')}\) qui multiplie le produit de \(n\) éléments d’exactement un élément de chaque ligne et un élément de chaque colonne. La seule façon d’obtenir un terme non nul est d’utiliser une permutation qui extrait l’élément non nul de chaque ligne. Il n’y a qu’une permutation pour laquelle c’est le cas, celle qui est encodée par \(\sigma\).
5.3.3 Matrices triangulaires
Soit \(\mathbf{A}\) une matrice carrée triangulaire supérieure (c’est-à-dire que \(a_{i,j} = 0\) pour tout \(i > j\)). Par exemple, la matrice \(\begin{bmatrix} \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{3} & \mathbf{0}\\ 0 & \mathbf{2} & \mathbf{5} & \mathbf{6}\\ 0 & 0 & \mathbf{3} & \mathbf{7}\\ 0 & 0 & 0 & \mathbf{1} \end{bmatrix}\) est triangulaire supérieure.
Dans ce cas, \(\det(\mathbf{A})\) est le produit des éléments sur la diagonale. Ici, le déterminant est \(1\cdot 2\cdot 3\cdot 1 = 6\).
Voyons pourquoi c’est le cas. Soit \(\sigma \in S_n\). On commence par montrer que si \(\sigma\) n’est pas la permutation identité, alors \(\displaystyle\prod_{i = 1}^n a_{i, \sigma(i)} = 0\).
Supposons que \(\sigma(1) \neq 1\). Alors il doit y avoir un \(i \geq 2\) tel que \(\sigma(i) = 1\). Ceci donne \(a_{i,\sigma(i)} = 0\) puisque \(\mathbf{A}\) est triangulaire supérieure et \(i > \sigma(i)\). Donc, \(\displaystyle\prod_{i = 1}^n a_{i, \sigma(i)} = 0\) si \(\sigma(1) \neq 1\).
Supposons que \(\sigma(1) = 1\) mais \(\sigma(2) \neq 2\). Alors il doit y avoir un \(i \neq 2\) tel que \(\sigma(i) = 2\). Mais \(i\neq 1\) puisque nous avons déjà \(\sigma(1) = 1\). Donc, \(i \geq 3\). Ceci donne encore \(a_{i,\sigma(i)} = 0\), puisque \(i > \sigma(i)\). Donc, \(\displaystyle\prod_{i = 1}^n a_{i, \sigma(i)} = 0\) si \(\sigma(1)=1\) et \(\sigma(2) \ne 2\).
Nous pouvons continuer de cette manière pour montrer que si
\(\sigma(i) = i\) et \(\sigma(i+1)\neq i+1\),
alors \(\displaystyle\prod_{i = 1}^n a_{i, \sigma(i)} = 0\).
Ainsi, le seul terme de \(\det(\mathbf{A})\) qui être non nul est celui pour lequel
\(\sigma(i) = i\) pour tout \(i=1,\ldots,n\), ce qui implique que
\(\det(\mathbf{A}) = a_{1,1}a_{2,2}\cdots a_{n,n}\).
En utilisant un argument semblable, on peut conclure que le déterminant d’une matrice triangulaire inférieure (une matrice où tous les éléments au-dessous de la diagonale sont nuls) est aussi donné par le produit des éléments sur la diagonale.
Exercices
Calculez le déterminant de chacune des matrices suivantes :
\(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 2-i & 0 \\ 3 & 1+i\end{bmatrix}\)
Solutions
\(4\)
\(adf\)
\((2-i)(1+i) = 3+i\)