6.2 Définition d’un espace vectoriel

Nous venons d’explorer un certain nombre de propriétés de \({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\), où \(\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{m\times n}\), en particulier:

1. Pour tout \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in {\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\), \(\mathbf{u} + \mathbf{v} \in {\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\).

2. Pour tout \(\mathbf{u} \in {\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\) et tout \(\alpha \in \mathbb{K}\), \(\alpha \mathbf{u} \in {\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\).

3. Il existe \(\mathbf{u}^{(1)},\ldots, \mathbf{u}^{(k)} \in {\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\) tels que \({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})} = \{ \alpha_1 \mathbf{u}^{(1)} + \cdots \alpha_k \mathbf{u}^{(k)} \,:\,\alpha_1,\ldots,\alpha_k \in \mathbb{K}\}\).

Nous montrons maintenant que ces propriétés sont partagées par un ensemble à l’allure très différente.

Soit \(P_2(\mathbb{K})\) l’ensemble des polynômes en \(x\) à coefficients dans \(\mathbb{K}\) de degré au plus \(2\), c’est-à-dire, \[P_2(\mathbb{K}) = \{ ax^2 + bx + c \,:\,a,b,c \in \mathbb{K}\}.\]

Si on remplace chaque mention de \({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\) par \(P_2(\mathbb{K})\), les trois propriétés deviennent

1. Pour tout \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in P_2(\mathbb{K})\), \(\mathbf{u} + \mathbf{v} \in P_2(\mathbb{K}).\)

2. Pour tout \(\mathbf{u} \in P_2(\mathbb{K})\) et tout \(\alpha \in \mathbb{K}\), \(\alpha \mathbf{u} \in P_2(\mathbb{K}).\)

3. Il existe \(\mathbf{u}^{(1)},\ldots, \mathbf{u}^{(k)} \in P_2(\mathbb{K})\) tels que \(P_2(\mathbb{K}) = \{ \alpha_1 \mathbf{u}^{(1)} + \cdots \alpha_k \mathbf{u}^{(k)} \,:\,\alpha_1,\ldots,\alpha_k \in \mathbb{K}\}.\)

La première propriété est satisfaite puisque \[\begin{align*} & (a_1x^2 + b_1x +c_1) + (a_2x^2 + b_2x +c_2) \\ = ~& (a_1+a_2)x^2 + (b_1+b_2)x + (c_1+c_2), \end{align*}\] qui est un élément de \(P_2(\mathbb{K}).\)

La seconde propriété est satisfaite puisque la multiplication de \(ax^2+bx+c\) par \(\gamma \in \mathbb{K}\) donne \((\gamma a)x^2 + (\gamma b)x +\gamma c\), qui est un élément de \(P_2(\mathbb{K}).\)

La troisième propriété est satisfaite avec \(\mathbf{u}^{(1)} = x^2 + 0 x + 0,\) \(\mathbf{u}^{(2)} = 0 x^2 + x + 0,\) \(\mathbf{u}^{(3)} = 0 x^2 + 0 x + 1.\) Alors, \(P_2(\mathbb{K}) = \{ a \mathbf{u}^{(1)} + b \mathbf{u}^{(2)} + c \mathbf{u}^{(2)} \,:\,a,b,c \in \mathbb{K}\}.\)

La coïncidence n’existe pas: \({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\) et \(P_2(\mathbb{K})\) partagent ces propriétés car ils sont tous deux des espaces vectoriels de dimension finie. (Nous allons approfondir le concept de la dimension dans une section ultérieure.)

Soit \(V\) un ensemble muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire, dont les scalaires proviennent d’un corps \(\mathbb{K}\). Supposons que \(V\) soit fermé et sous l’addition et sous la multiplication par un scalaire.

La paire \((V,\mathbb{K})\) est appelé un espace vectoriel si

• \(\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})=(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}\) pour tout \(\mathbf{x}, \mathbf{y},\mathbf{z} \in V.\)

• \(\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}\) pour tout \(\mathbf{x},\mathbf{y} \in V.\)

• \(\alpha(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\alpha \mathbf{x}+ \alpha \mathbf{y}\) pour tout \(\mathbf{x},\mathbf{y}\in V\) et \(\alpha \in \mathbb{K}.\)

• \((\alpha+\beta)\mathbf{x}=\alpha \mathbf{x}+ \beta \mathbf{x}\) pour tout \(\mathbf{x} \in V\) et \(\alpha, \beta\in\mathbb{K}.\)

• il existe un élément \(\mathbf{0}_V \in V\), appelé le vecteur nul tel que \(\mathbf{0}_V+\mathbf{v} = \mathbf{v}\) pour tout \(\mathbf{v} \in V\). On écrit souvent \(\mathbf{0}\) au lieu de \(\mathbf{0}_V\), lorsque le contexte le permet.

• pour chaque \(\mathbf{v} \in V\), il existe un élément \(\mathbf{v}' \in V\), appelé l’opposé de \(\mathbf{v}\), tel que \(\mathbf{v} + \mathbf{v}' = \mathbf{0}_V\). (On écrit souvent \(-\mathbf{v}\) au lieu de \(\mathbf{v}'\))

• \(\alpha(\beta \mathbf{x})=(\alpha\beta) \mathbf{x}\) pour tout \(\mathbf{x} \in V\), \(\alpha, \beta\in\mathbb{K}.\)

• \(1\mathbf{x}=\mathbf{x}\) pour tout \(\mathbf{x} \in V\), où \(1\) dénote l’élément neutre pour la multiplication de \(\mathbb{K}.\)

Lorsque l’identité du corps \(\mathbb{K}\) est évidente selon le contexte, l’espace vectoriel (\(V\), \(\mathbb{K}\)) est dénoté par \(V\), tout simplement. Si on veut rappeler la présence de \(\mathbb{K}\), on dit de \(V\) qu’il est “à scalaires dans \(\mathbb{K}^{n}\). Les éléments de \(V\) sont des vecteurs.

\({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\) est plus communément appelé le noyau de \(\mathbf{A}.\) Nous étudierons le noyau d’une matrice en détails dans une section ultérieure.

Remarques. Le vecteur nul de \({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\) est \(\begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}\). Le vecteur nul de \(P_2(\mathbb{K})\) est le polynôme \(0x^2 + 0x + 0.\) L’opposé de \(ax^2 + bx + c\) dans \(P_2(\mathbb{K})\) est \((-a)x^2 + (-b)x + (-c).\) Bien que nous ne le ferons pas dans cet ouvrage, il est possible de vérifier que \({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\) et \(P_2(\mathbb{K})\) satisfont les propriétés d’un espace vectoriel.

6.2.1 Soustraction de vecteurs

La soustraction du vecteur \(\mathbf{v}\) de \(\mathbf{u}\), dénotée par \(\mathbf{u}-\mathbf{v}\), est définie par \(\mathbf{u} - \mathbf{v} = \mathbf{u} + \mathbf{v}'\), où \(\mathbf{v}'\) est l’opposé de \(\mathbf{v}\). On peut montrer que \(\mathbf{u}-\mathbf{v} = \mathbf{u} + (-1)\mathbf{v}\), où \(-1\) est l’opposé de l’élément neutre pour la multiplication de \(\mathbb{K}.\)

Exercice

1. Soit \((V,\mathbb{K})\) un espace vectoriel. Montrez que pour chaque vecteur \(\mathbf{u}\) de \(V,\) l’opposé de \(\mathbf{u}\) est égal à \((-1) \mathbf{u}\), où \(-1\) dénote l’opposé de l’élément neutre pour la multiplication de \(\mathbb{K}.\)

Solution

1. Puisque \[\begin{align*} 0\mathbf{u} & = (1+(-1))\mathbf{u} \\ & = 1\mathbf{u}+(-1)\mathbf{u} \\ & = \mathbf{u}+(-1)\mathbf{u}, \end{align*}\] il suffit de montrer que \(0\mathbf{u} = \mathbf{0}.\) Notons que \[\begin{align*} 0\mathbf{u} & = (0+0)\mathbf{u} \\ & = 0\mathbf{u}+0\mathbf{u} \end{align*}\] L’ajout de l’opposé de \(0\mathbf{u}\) de part et d’autre de cet égalité donne \(\mathbf{0} = 0 \mathbf{u}\), tel que désiré.