2.1 Partie réelle et partie imaginaire
Le nombre \(i\) est défini comme étant tel que \(i^2 = -1.\) On l’appelle nombre imaginaire car, contrairement aux entiers naturels et aux nombres réels, il n’a pas d’interprétation concrète. Notons que certaines ressources utilisent \(j\) plutôt que \(i.\) Faites attention!
Même si \(i\) est imaginaire, on l’utilise dans plusieurs applications en ingénierie.
Nous pouvons ajouter \(i\) aux nombres réels en utilisant l’addition et la multiplication pour former l’ensemble des nombres complexes, que l’on dénote par \(\mathbb{C}\), avec la propriété supplémentaire que \(i \cdot i = -1\) et \(0\cdot i = 0.\)
Lorsqu’un nombre complexe est écrit sous la forme \(a+bi\), où \(a,b\in \mathbb{R}\), on appelle \(a\) la partie réelle et \(b\) la partie imaginaire. (Notons que \(i\) n’est pas inclus dans la partie imaginaire.) Nous utilisons aussi la notation suivante pour extraire les parties réels et imaginaires :
Pour \(z = a+bi\), \(\mathfrak{Re}\left({z}\right) = a\) et \(\mathfrak{Im}\left({z}\right) = b.\)
Par convention, si \(b=1\), on écrit simplement \(a + i\) plutôt que \(a + 1 i\). Si \(a = 0\), on écrit simplement \(bi\) plutôt que \(0 + bi.\) Bien entendu, lorsque \(a = 0\) et \(b = 1\), nous retrouvons le nombre imaginaire \(i.\)
Exemple 2.1 Considérons les nombres complexes \(z = 3 - 4i\), \(w = 2i\), et \(u = -5\).
Alors, \(\mathfrak{Re}\left({z}\right) = 3,\) \(\mathfrak{Im}\left({z}\right) = -4,\) \(\mathfrak{Re}\left({w}\right) = 0,\) \(\mathfrak{Im}\left({w}\right) = 2,\) \(\mathfrak{Re}\left({u}\right) = -5\) et \(\mathfrak{Im}\left({u}\right) = 0.\)
Exercices
Déterminez la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres complexes suivants :
\(1+3i\)
\(2i\)
\(-\pi - 4i\)
\(2\)
Solutions
La partie réelle est 1 et la partie imaginaire est 3.
La partie réelle est 0 et la partie imaginaire est 2.
La partie réelle est \(\pi\) et la partie imaginaire est \(-4.\)
La partie réelle est 2 et la partie imaginaire est 0.