Notation

L’ensemble des nombres réels est dénoté par \(\mathbb{R}\). L’ensemble des nombres rationnels est dénoté par \(\mathbb{Q}\). L’ensemble des nombres entiers est dénoté par \(\mathbb{Z}\).

L’ensemble des \(n\)-uplets dont les éléments sont des nombres réels est dénoté par \(\mathbb{R}^n\). Des définitions similaires sont aussi vraies pour \(\mathbb{Q}^n\) et \(\mathbb{Z}^n\).

L’ensemble des matrices de taille \(m\times n\) (c’est-à-dire les matrices ayant \(m\) lignes et \(n\) colonnes) ayant des éléments réels est dénoté par \(\mathbb{R}^{m\times n}\). Des définitions similaires sont aussi vraies pour \(\mathbb{Q}^{m\times n}\) et \(\mathbb{Z}^n\).

Tous les \(n\)-uplets sont écrit en tant que colonnes (donc, comme une matrice de dimension \(n\times 1\)). Un \(n\)-uplet est normalement représenté par une lettre minuscule en gras, tel que \(\mathbf{x}\). Pour un \(n\)-uplet \(\mathbf{x}\), \(x_i\) dénote le \(i\)-ième élément (ou composante) de \(\mathbf{x}\) pour \(i = 1,\ldots, n\). Un \(n\)-uplet dont toutes les composantes sont nulles est dénoté par \(\mathbf{0}\). La dimension du uplet est déterminée selon le contexte.

Les matrices sont généralement représentées par une lettre majuscule en gras, tel que \(\mathbf{A}\). La \(j\)-ième colonne de la matrice \(\mathbf{A}\) est dénoté par \(\mathbf{A}_j\) et l’élément \((i,j)\) (l’élément dans la \(i\)-ième ligne et la \(j\)-ième colonne) est dénoté \(a_{ij}\).

Les scalaires sont généralement représentés par des lettres grecques en minuscule, telles que \(\lambda\), \(\alpha\), \(\beta\) etc.

Pour une matrice \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{A}^\mathsf{T}\) dénote la transposé de \(\mathbf{A}\). Pour un \(n\)-uplet \(\mathbf{x}\), \(\mathbf{x}^\mathsf{T}\) dénote la transposé de \(\mathbf{x}\).

Si \(\mathbf{A}\) et \(\mathbf{B}\) sont des matrices \(m\times n\), \(\mathbf{A} \geq \mathbf{B}\) signifie que \(a_{ij} \geq b_{ij}\) pour tout \(i = 1,\ldots, m\), \(j = 1,\ldots, n\). Des définitions semblables sont vraies pour \(\mathbf{A} \leq \mathbf{B}\), \(\mathbf{A} = \mathbf{B}\), \(\mathbf{A} < \mathbf{B}\) et \(\mathbf{A} > \mathbf{B}\). En particulier, si \(\mathbf{u}\) et \(\mathbf{v}\) sont des \(n\)-uplets, \(\mathbf{u}\geq \mathbf{v}\) signifie \(u_i \geq v_i\) pour \(i= 1,\ldots, n\) et \(\mathbf{u} > \mathbf{0}\) signifie que \(u_i > 0\) pour \(i = 1,\ldots,n\).

Les exposants entre parenthèse sont utilisés afin d’indexer les uplets. Par exemple, \(\mathbf{u}^{(1)},\mathbf{u}^{(2)} \in \mathbb{R}^3\) indique que \(\mathbf{u}^{(1)}\) et \(\mathbf{u}^{(2)}\) sont des éléments de \(\mathbb{R}^3\). Le deuxième élément de \(\mathbf{u}^{(1)}\) est dénoté par \(u^{(1)}_2.\)