3.7 Forme échelonnée réduite

Une matrice est sous forme échelonnée réduite (FER) si elle satisfait aux trois conditions suivantes :

  1. À chaque ligne, l’élément non nul le plus à gauche est \(1\) et les autres éléments de la colonne qui contient ce \(1\) sont tous nuls. Ce \(1\) est un pivot de la matrice.

  2. Le pivot de chaque ligne est à la droite des pivots des lignes supérieures.

  3. Chaque ligne ne contenant que des éléments nuls se retrouve au bas de la matrice.

Par exemple, les matrices suivantes ne sont pas en FER :

  • \(\begin{bmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\) (L’élément non nul le plus à gauche de la deuxième ligne n’est pas égal à \(1\), ce qui contrevient à la première propriété.)

  • \(\begin{bmatrix} 0& 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) (Le pivot de la deuxième ligne est à gauche du pivot de la première ligne, ce contrevient à la seconde propriété.)

  • \(\begin{bmatrix} 1& 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\) (Le pivot de la troisième ligne n’est pas le seul élément non nul dans sa colonne, ce qui contrevient à la première propriété.)

  • \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}\) (La deuxième ligne ne contient que des éléments nuls mais elle ne se retrouve pas au bas de las matrice, ce qui contrevient à la troisième propriété.)

Dans un système \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\), où \(\mathbf{A}\) est en FER, on peut rapidement voir si le système admet une solution et comment la construire dans ce cas. Si \(\mathbf{A}\) possède une ligne d’éléments nuls, disons la \(i\)-ième ligne, et que \(b_i \ne 0\), alors il ne peut y avoir de solution car la \(i\)-ième équation se lirait « \(0 = b_i \ne 0\) », ce qui est impossible. Par exemple, si \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix}\) et \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4\end{bmatrix}\), le système devient \[\begin{align*} x_1 + 2x_2 & = 3 \\ 0 & = 4 \end{align*}\] Peu importe les valeurs de \(x_1\) et \(x_2\), la seconde équation ne peut être satisfaite.

Dans le cas contraire, on obtient une solution en fixant toutes les variables correspondant aux pivots à la valeur de la constante de la dernière colonne de la matrice augmentée, et les autres variables à \(0\). (Que faire si nous cherchons à obtenir toutes les solutions?)

Soit \(\mathbf{A}\) une matrice définie sur un corps, de forme échelonnée réduite (FER). Les solutions de \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) peuvent être lues immédiatement à même la matrice augmentée \(\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{b}\end{bmatrix}\). Dans ce qui suit, on jette un regard sur tous les scénarios possibles.

3.7.1 D’autres terminologies

Supposons que la matrice augmentée est \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}\), qui est en FER. Les colonnes 1, 3 et 4 contiennent les pivots. Ces colonnes sont les colonnes pivots. Les autres colonnes sont les colonnes libres. Les variables correspondant aux colonnes pivots sont les variables pivots. Les autres variables sont appelées variables libres. La dernière colonne est la colonne des constantes.

3.7.2 Existence de solutions

Considérons, par exemple la matrice augmentée donnée par \(\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\). Notons que la troisième ligne ne contient que des nuls dans les colonnes correspondantes aux variables mais un élément non nul dans la colonne des constantes. Cela signifie qu’il n’y a pas de solution car l’équation représentée par la troisième ligne est \(0 = 1\). En général, si une matrice augmentée est FER et contient une ligne de zéros à part pour la dernière position, alors le système n’admet aucune solution.

Si la matrice augmentée n’a pas de telle ligne, alors le système correspondant admet au moins une solution pouvant aisément être obtenue en donnant à chaque variable pivot la valeur correspondante de la constante et à chaque variable libre la valeur 0. Considérons, par exemple, la matrice augmentée est \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}\). On trouve une solution en fixant les variables pivots \(x_1 = 5\), \(x_3 = 4\), \(x_4=3\) et la variable libre \(x_2 = 0\).

Dans le cas où la matrice augmentée en FER indique que le système correspondant admet au moins une solution, nous verrons que nous sommes en mesure de donner un description plus informative de l’ensemble-solution.

3.7.3 Solutions multiples

Supposons que le système admette une solution. Si la matrice augmentée contient une variable libre, le système admet en fait une infinité de solutions, à moins qu’il soit défini sur un corps fini. Considérons, par exemple, la matrice augmentée donnée par \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}\). La deuxième colonne est une colonne libre. La variable correspondante à cette colonne peut prendre n’importe quelle valeur et on obtient quand même une solution du système. Posons \(x_2=s\), on obtient alors une solution où \(x_1 = -2s\), \(x_3 = 0\) et \(x_4 = 3\), c’est-à-dire que pour chaque valeur de \(s\), \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -2s \\ s \\0 \\ 3\end{bmatrix}\) est une solution. Par exemple, \(s = 0\) nous obtenons \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\0 \\ 3\end{bmatrix}\), tandis que si \(s = -1\) nous obtenons la solution \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\0 \\ 3\end{bmatrix}\).

Pour voir comment on obtient la solution générale, on écrit le système dans son entièreté : \[\begin{align*} x_1 + 2x_2 & = 0 \\ x_3 & = 0 \\ x_4 & = 3. \end{align*}\] En prenant \(x_2 = s\), on obtient \[\begin{align*} x_1 + 2s & = 0 \\ x_3 & = 0 \\ x_4 & = 3. \end{align*}\] Ensuite, il suffit de résoudre pour \(x_1\) afin d’obtenir la solution générale.

3.7.4 Solution unique

Si le système admet une solution mais qu’il n’y a pas de colonne libre dans la matrice augmentée associé, alors le système admet une solution unique. Par exemple, si \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\) et \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}\), le système \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) n’admet que la solution \(\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}\).

Exercices

  1. Chacune des matrices suivantes est une matrice augmentée associée à un système d’équations linéaires rationnels. Déterminez si le système n’admet aucune solution, s’il admet une solution unique ou une infinité de solutions.

    1. \(\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1\end{bmatrix}\)

    2. \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)

    3. \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 \end{bmatrix}\)

Solutions

    1. Aucune solution.

    2. Solution unique.

    3. Solution unique.