4.1 Multiplication de matrices

Soit S un anneau. Soient B∈Sm×p et x∈Sp.

Le produit Bx est défini par le m-uplet [p∑j=1b1jxjp∑j=1b2jxj⋮p∑j=1bmjxj.]

Rappelons que bij (ou bi,j) dénote l’élément (i,j) de B, c’est-à-dire l’élément à la i-ième ligne et la j-ième colonne de B.

Soit A∈Sp×n. Le produit BA est défini par la matrice telle que la j-ième colonne est donnée par BAj pour j=1,…,n. Ici, Aj dénote la j-ième colonne de A.

Exemple 4.1 Soient A=[1235] et B=[10−11].

Alors BA1=[10−11][13]=[1(1)+0(3)−1(1)+1(3)]=[12], et BA2=[10−11][25]=[1(2)+0(5)−1(2)+1(5)]=[23], d’où BA=[1223].

Exemple 4.2 Soient A=[123] et B=[14−112−2].

Alors AB1=[123][1−12]=[1(1)+2(−1)+3(2)]=[5], et AB2=[123][41−2]=[1(4)+2(1)+3(−2)]=[0]. Ainsi, AB=[50].

Exemple 4.3 Soient A=[1−2] et B=[35].

Alors AB1=[1−2][3]=[3−6], et AB2=[1−2][5]=[5−10]. Ainsi, AB=[35−6−10].

Notons que le produit de AB est défini seulement lorsque le nombre de colonnes de A est le même que le nombre de lignes de B.

En général AB≠BA (quoique cela peut arriver). Par exemple, il est possible que le produit AB soit défini sans que BA ne le soit (lorsque le nombre de colonnes de B n’est pas identique au nombre de lignes de A.)

Exemple 4.4 Soient A=[1020] et B=[0110]. Alors AB=[0102] mais BA=[2010].

Exemple 4.5 Soient A=[1324] et B=[10]. Alors AB=[12] mais le produit BA n’est pas défini.

Exercices

  1. Calculez chacun des produits de matrices suivants.

    1. [1324][−101123]

    2. [012−14302][−1013]

    3. [123][−11]

  2. Soient A=[12], B=[14−11], C=[101−110].

    1. Calculez AB et BC.

    2. Utilisez les résultats de la partie précédant pour calculez (AB)C et A(BC). Que pouvez-vous dire à propos de ces produits?

Solutions

    1. [26102814].

    2. [−12].

    3. [−11−22−33].

    1. AB=[−16] et BC=[−341−21−1].

    2. Les deux produits sont égaux à [−76−1].