11.4 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre

1. Donnez une matrice $\mathbf{P}$ telle que pour tout $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^3,$ $\mathbf{P}\mathbf{u}$ est la projection orthogonale de $\mathbf{u}$ dans l’espace engendré par des colonnes de $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}.$

2. Donnez un pseudo-inverse de $\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2\end{bmatrix}.$

3. La trace d’une matrice carrée $\mathbf{C}$ est la somme des éléments sur sa diagonale.

   1. Montrez que si $\mathbf{A},\mathbf{B} \in \mathbb{R}^{n\times n},$ alors $\operatorname{tr}(\mathbf{A}\mathbf{B}) = \operatorname{tr}(\mathbf{B}\mathbf{A}).$

   2. Soit $\mathbf{P}$ une matrice de projection. Démontrez que le rang de $\mathbf{P}$ est égale à sa trace. (Indice : Les matrices de projections sont symétriques et idempotentes.)

4. Soit $\mathbf{P} \in \mathbb{R}^{2\times 2}$ une matrice de projection non nulle. Montrez que $\mathbf{P} = \mathbf{I}_2$ ou qu’il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $$\mathbf{P} = \begin{bmatrix} a & b \\ b & 1 - a\end{bmatrix},$$ où $|a| \leq 1$ et $b = \pm \sqrt{ a - a^2 }.$