11.4 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre

1. Donnez une matrice \(\mathbf{P}\) telle que pour tout \(\mathbf{u} \in \mathbb{R}^3,\) \(\mathbf{P}\mathbf{u}\) est la projection orthogonale de \(\mathbf{u}\) dans l’espace engendré par des colonnes de \(\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}.\)

2. Donnez un pseudo-inverse de \(\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2\end{bmatrix}.\)

3. La trace d’une matrice carrée \(\mathbf{C}\) est la somme des éléments sur sa diagonale.

   1. Montrez que si \(\mathbf{A},\mathbf{B} \in \mathbb{R}^{n\times n},\) alors \(\operatorname{tr}(\mathbf{A}\mathbf{B}) = \operatorname{tr}(\mathbf{B}\mathbf{A}).\)

   2. Soit \(\mathbf{P}\) une matrice de projection. Démontrez que le rang de \(\mathbf{P}\) est égale à sa trace. (Indice : Les matrices de projections sont symétriques et idempotentes.)

4. Soit \(\mathbf{P} \in \mathbb{R}^{2\times 2}\) une matrice de projection non nulle. Montrez que \(\mathbf{P} = \mathbf{I}_2\) ou qu’il existe \(a \in \mathbb{R}\) tel que \[\mathbf{P} = \begin{bmatrix} a & b \\ b & 1 - a\end{bmatrix},\] où \(|a| \leq 1\) et \(b = \pm \sqrt{ a - a^2 }.\)