9.1 Produit scalaire usuel

Soient \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\in\mathbb{R}^n.\) Le produit scalaire usuel de \(\mathbf{u}\) et \(\mathbf{v},\) que l’on dénote par \(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v},\) est défini par \[u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_nv_n.\] En utilisant la convention qu’une matrice de dimension \(1\times 1\) est équivalente à l’élément qu’elle contient, il s’ensuit que \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u}^\mathsf{T}\mathbf{v}.\)

Par exemple, si \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\2 \\3\end{bmatrix}\) et \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6\end{bmatrix},\) alors \[\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} = (1)(4)+ (2)(5) + (3)(6) = 4 + 10 + 18 = 32.\]

Faites attention : la notation du produit scalaire usuel est identique à celle de la multiplication dans un corps. Le contexte de l’utilisation de ce symbole devrait aider à clarifier la situation, mais la confusion demeure possible.

Le produit scalaire usuel est un ingrédient important de la modélisation de l’espace euclidien. On énumère certaines de ses propriétés :

  1. \(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}.\)
  2. \(\mathbf{u} \cdot (\lambda \mathbf{v}) = \lambda( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v})\) pour tout scalaire \(\lambda.\)
  3. \(\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) + (\mathbf{u}\cdot \mathbf{w}).\)

En terme de l’ordre des opérations, le produit scalaire usuel se calcule avant l’addition vectorielle. Ainsi, la troisième propriété peut s’écrire tout simplement comme \[\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u}\cdot \mathbf{w}.\]

9.1.1 Longueur d’un vecteur

Le produit scalaire usuel induit une notion de longueur dans \(\mathbb{R}^n.\) Soit \(\mathbf{u} \in \mathbb{R}^n.\) On définit \(\|\mathbf{u}\|\) par \(\sqrt{\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}.\)

Ainsi, \(\|\cdot\|\) est une fonction de norme qui satisfait aux propriétés suivantes :

  1. \(\| \mathbf{u}\|\geq 0.\)
  2. \(\| \mathbf{u} - \mathbf{v} \|=\| \mathbf{v} - \mathbf{u} \|.\)
  3. \(\| \mathbf{u}\|=0\) si et seulement si \(\mathbf{u}=\mathbf{0}.\)
  4. \(\| \mathbf{u} + \mathbf{v} \| \leq \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|.\)
  5. \(\| \alpha \mathbf{u} \| = \lvert \alpha \rvert \| \mathbf{u} \|\) pour tout \(\alpha \in \mathbb{R}.\)

La vérification de ces propriétés est laissée en exercice.

On appelle \(\|\mathbf{u}\|\) la norme de \(\mathbf{u}\). Un vecteur de norme 1 est appelé vecteur unitaire.

9.1.2 Angle entre deux vecteurs Il est possible de démontrer que pour tous

\(\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n,\) où \(n\) est un entier positif, \[|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}| \leq \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|.\] Cette inégalité porte le nom d’inégalité de Cauchy-Schwarz. Une preuve de ce résultat est présentée plus tard dans un contexte plus général.

On en conclut que \(\displaystyle\frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}\leq 1\) si \(\mathbf{u}\) et \(\mathbf{v}\) sont non nuls. De cette inégalité découle la définition de l’angle entre \(\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n\) : c’est l’angle \(\theta\) entre \(0\) et \(\pi\) tel que \(\cos \theta = \displaystyle\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}.\) (Les radians sont utilisés pour la mesure des angles.)

Lorsque \(n = 2,\) il n’est pas difficile de vérifier que l’angle \(\theta\) est précisément l’angle entre le segment joignant l’origine à \(\mathbf{u}\) et le segment joignant l’origine à \(\mathbf{v}.\) C’est également le cas lorsque \(n = 3\), même si cela peut être plus difficile à voir. Cette définition nous permet alors de généraliser la notion d’un angle entre deux vecteurs de \(\mathbb{R}^n\) pour \(n > 3.\)

On dit que les vecteurs \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\in \mathbb{R}^n\) sont orthogonaux si \(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} = 0.\) Dans \(\mathbb{R}^2\) et \(\mathbb{R}^3,\) deux vecteurs non nuls sont orthogonaux précisément lorsqu’ils forment un angle droit.

Si \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\) sont orthogonaux, alors \[\|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2.\] Ce résultat est mieux connu sous le nom du théorème de Pythagore. Pour démontrer ce résultat, il suffit de constater que \[\begin{align*} \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 & = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v}) \\ & = (\mathbf{u} + \mathbf{v})^\mathsf{T}(\mathbf{u} + \mathbf{v}) \\ & = \mathbf{u}^\mathsf{T}\mathbf{u}+ \mathbf{u}^\mathsf{T}\mathbf{v}+ \mathbf{v}^\mathsf{T}\mathbf{u} + \mathbf{v}^\mathsf{T}\mathbf{v} \\ & = \|\mathbf{u}\|^2+ 0 + 0 + \|\mathbf{v}\|^2 \\ & = \|\mathbf{u}\|^2+\|\mathbf{v}\|^2. \end{align*}\]

Exemple 9.1 Soient \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0\end{bmatrix}\) et \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix}.\) Soit \(\theta\) l’angle entre \(\mathbf{u}\) et \(\mathbf{v}\). Puisque \[\cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|} = \frac{ (2)(0) + (0)(-1) } {\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|} = 0,\] alors \(\theta = \frac{\pi}{2}.\)

Exemple 9.2 Soient \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3\end{bmatrix}\) et \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}.\) Soit \(\theta\) l’angle entre \(\mathbf{u}\) et \(\mathbf{v}\). Puisque \[\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\| \|v\|} = \frac{ (3)(0) + (3)(2) } {\sqrt{3^2+3^2}\sqrt{0^2+2^2}} = \frac{ 6 } {\sqrt{18}\sqrt{4}} = \frac{ 6 } {6\sqrt{2}} = \frac{ 1 } {\sqrt{2}},\] alors \(\theta = \frac{\pi}{4}.\)

Exercices

  1. Calculez l’angle entre \(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}\) et \(\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\) (en radians). Estimez votre réponse en utilisant 4 chiffres après la virgule.

  2. Trouvez la norme de \(\begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix}.\)

  3. Trouvez un vecteur unitaire de \(\mathbb{R}^3\) qui est orthogonal aux deux vecteurs \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) et \(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}.\)

Solutions

  1. Soit \(\theta\) l’angle entre \(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}\) et \(\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}.\)

    Alors, \[\cos \theta = \frac{2 -2 -1}{\sqrt{1+4+1}\sqrt{4+1+1}} = -\frac{1}{6},\] et \(\theta = 1{,}7382\) radians.

  2. \(\left \| \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix} \right \| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{ 25 } = 5.\)

  3. Un vecteur \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\x_2\\x_3\end{bmatrix}\) est orthogonal aux deux vecteurs \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) et \(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) si et seulement si \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.\] Une solution non trivial est donnée par \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix},\) d’où \(\mathbf{u} = \frac{1}{\| \mathbf{x} \|} \mathbf{x}= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}\) est un vecteur unitaire orthogonal aux deux vecteurs \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) et \(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}.\)