14.2 Différentiation de polynômes

Rappelons que dans la définition d’une application linéaire \(T:V \rightarrow W,\) \(V\) et \(W\) ne doivent pas nécessairement être de dimension finie. Lorsque l’un de \(V\) ou \(W\) est de dimension infinie, la représentation de \(T\) par une matrice de taille finie est impossible (quoique le concept d’une matrice infinie existe).

Avant d’en arriver à un tel exemple, commençons par étudier un cas spécial.

Soit \(P_k\) l’espace vectoriel des polynômes en \(x\) à coefficients réels de degré au plus \(k\) : \[P_k = \{ a_k x^k + a_{k-1}x^{k-1}+\cdots +a_1 x + a_0 \,:\, a_k,a_{k-1},\ldots,a_1\in\mathbb{R}\}.\] Notons que \(\dim(P_k) = k+1\) pour tout \(k.\)

Soit \(D_1:P_2 \rightarrow P_1\) l’application définie par \[D(ax^2 + bx + c) = 2ax + b.\] On voit que \(D\) est linéaire. En effet, si \(\mathbf{u} = a_1x^2 + b_1 x + c_1\) et \(\mathbf{v} = a_2 x^2 + b_2 x + c_2,\) alors \[\begin{align*} D(\mathbf{u} + \mathbf{v}) & = D( (a_1+a_2)x^2 + (b_1+b_2)x + (c_1+c_2) ) \\ & = 2(a_1+a_2)x + (b_1+b_2) \\ & = 2(a_1x + b_1) + (2a_2x + b_2) \\ & = D(\mathbf{u} + \mathbf{v}). \end{align*}\]

De plus, si \(\mathbf{u} = ax^2 + bx + c\) et \(\gamma \in \mathbb{R},\) \[\begin{align*} D(\gamma \mathbf{u}) & = D( (\gamma a)x^2 + (\gamma b)x + \gamma ) \\ & = 2 (\gamma a)x + \gamma b \\ &= \gamma (2ax + b) = \gamma D(\mathbf{u}). \end{align*}\]

De façon générale, pour chaque entier positif \(k,\) l’application \(D_k:P_{k+1} \rightarrow P_{k}\) définie par \[D_k(a_{k+1}x^{k+1} + a_k x^k +\cdots + a_1 x + a_0) =(k+1)a_{k+1}x^k + k a_k x^{k-1} + \cdots + a_1\] est linéaire.

Ceux et celles d’entre vous ayant déjà suivi un cours de calcul différentiel reconnaîtrait l’image de \(D_k\) — c’est tout simplement la dérivée de la fonction de départ.

Retirons maintenant la restriction sur le degré et considérons \(P,\) l’espace vectoriel des polynômes en \(x\) à coefficients réels. Notons que \(P\) est de dimension infinie.

Si \(D:P \rightarrow P\) est définie par \[D( a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0) = \sum_{i = 1}^n i a_i x^{i-1}\] pour tout entier \(n \geq 0\) et \(a_n,\ldots,a_0 \in \mathbb{R},\) alors il est possible de vérifier que \(D\) est une transformation linéaire qui ne peut être représentée par une matrice de taille finie.

En fait, la différentiation est une application linéaire sur des espaces de fonctions plus générales. Les espaces vectoriels de fonctions infiniment différentiables sont très communément utilisés pour le traitement des signaux, entre autre.

Exercices

1. Soit \(\Gamma = ( x^2, x, 1)\) une base ordonnée de \(P_2\) et \(\Omega = ( x , 1)\) une base ordonnée de \(P_1.\) Déterminez \([D_1]_{\Gamma}^{\Omega}.\)

2. Soit \(k\) un entier positif. Soit \(\Gamma = ( x^{k+1}, x^k, \ldots, x, 1)\) une base ordonnée de \(P_{k+1}\) et \(\Omega = ( x^k , x^{k-1},\ldots,x, 1)\) une base ordonnée de \(P_k.\) Déterminez \([D_k]_{\Gamma}^{\Omega}.\)

3. Soit \(F\) l’ensemble des fonctions \(\sum\limits_{k = 0}^\infty (\alpha_k \sin( kx) + \beta_k \cos(kx))\) telles que \(\alpha_k,\beta_k \in \mathbb{R},\) pour tout \(k = 0,1,\ldots,\) et pour lesquelles un nombre fini des \(\alpha_k\) et \(\beta_k\) au plus sont non nuls.

   1. Montrez que \(F\) est un espace vectoriel de dimension infinie. (Indice : Montrez que \(\sin(x), \sin(2x), \sin(4x),\ldots, \sin(2^ix),\ldots\) sont des fonctions linéairement indépendants.)

   2. Montrez que si \(f\) appartient à \(F,\) c’est également le cas pour la dérivée de \(f\).