6.13 Représentation par les uplets

6.13.1 Bases ordonnées

Soient \((V,\mathbb{K})\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et \(\{\mathbf{v}^{(1)},\ldots,\mathbf{v}^{(n)}\}\) une base de \(V\). On appelle \((\mathbf{v}^{(1)},\ldots,\mathbf{v}^{(n)})\) une base ordonnée de \(V\).

En imposant un ordre sur les éléments de la base, on peut représenter chaque vecteur de \(V\) en tant que \(n\)-uplet. Plus précisément, soit \(\mathbf{u} \in V\). Rappelons qu’il existe des scalaires \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in \mathbb{K}\) tels que \(\mathbf{u} = \lambda_1 \mathbf{v}^{(1)} + \cdots + \lambda_n \mathbf{v}^{(n)}.\)

On défini \([\mathbf{u}]_{(\mathbf{v}^{(1)},\ldots,\mathbf{v}^{(n)})}\) par le \(n\)-uplet \(\begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n\end{bmatrix}\).

On appelle \([\mathbf{u}]_{(\mathbf{v}^{(1)},\ldots,\mathbf{v}^{(n)})}\) une représentation par uplet (ou représentation en coordonnées) de \(\mathbf{u}\) par rapport à la base ordonnée \((\mathbf{v}^{(1)},\ldots,\mathbf{v}^{(n)})\).

Évidemment, si on choisit une base ordonnée différente, on obtient une représentation différente du même vecteur. Voilà pourquoi il est important de préciser la base ordonnée lorsqu’on utilise une représentation par les uplets.

Exemple 6.20 Notons que \(\Gamma = \left ( \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3\end{bmatrix}\right )\) est une base ordonnée de \(\mathbb{R}^2\). Soit \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}\). Nous voulons obtenir \([\mathbf{u}]_\Gamma\).

On écrit d’abord \(\mathbf{u}\) en tant que combinaison linéaire des éléments de \(\Gamma\), c’est-à-dire que l’on cherche des nombres réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\mathbf{u} = \alpha \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 2 \\ 3\end{bmatrix}\). Nous devons résoudre \[\begin{align*} 3 & = \alpha + 2\beta \\ 2 & = -\alpha + 3 \beta, \end{align*}\] qui a pour solution \(\alpha = 1\) et \(\beta = 1\). Ainsi, \([\mathbf{u}]_\Gamma = \begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix}\).

Exemple 6.21 Soit \(V = P_2(\mathbb{R})\). Soient \(\Gamma\) et \(\Omega\) les bases ordonnées \(\Gamma = (1, x+1, x^2+1)\) et \(\Omega = (x-1, x^2+1, x^2-1)\). (Vérifiez que ce sont bien des bases ordonnées.) Nous voulons trouver la représentation par les uplets du polynôme \(x\) par rapport à ces bases ordonnées.

Afin de déterminer \([x]_\Gamma\), nous devons trouver des réels \(\alpha, \beta,\gamma\) tels que \[x = \alpha (1) + \beta (x+1) + \gamma (x^2+1).\] En simplifiant à droite, on obtient \[x = \gamma x^2 + \beta x + (\alpha + \beta + \gamma). \] Puisque le côté gauche ne possède aucun terme de degré \(2\), on doit avoir \(\gamma = 0\). En comparant les coefficients de \(x\) des deux côtés, on obtient \(\beta = 1\). Puisque le côté gauche n’a pas de terme constant, on doit avoir \(\alpha = -1\). Autrement dit, \(x = (-1)1 + 1(x+1) + 0x^2\), et \([x]_\Gamma = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}\).

Pour \([x]_\Omega\), on note que \(x = 1(x-1) + \frac{1}{2}(x^2+1) + \left(-\frac{1}{2}\right)(x^2)\), d’où \([x]_\Omega = \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}\end{bmatrix}\).

6.13.2 Utilisation des représentations par les uplets

Si \(\mathbf{u},\mathbf{w}\in V\) et \(\Gamma\) est une base ordonnée de \(V\), on peut rapidement vérifier que \[[\mathbf{u}+\mathbf{w}]_{\Gamma} = [\mathbf{u}]_{\Gamma} + [\mathbf{w}]_{\Gamma}.\] De même, si \(\lambda\) est un scalaire, alors \[[\lambda \mathbf{u}]_{\Gamma} = \lambda [\mathbf{u}]_{\Gamma}.\] On peut passer d’un espace vectoriel de dimension finie à \(\mathbb{K}^{n}\): toutes les opération sont préservées.

Exercices

  1. Soient \(\Gamma = \left ( \begin{bmatrix} 1 \\ 2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}\right )\) et \(\Omega = \left ( \begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}\right)\) deux bases ordonnées de \(\mathbb{R}^2\).

    1. Soient \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) et \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\). Exprimez les représentations suivantes:

      1. \([\mathbf{u}]_{\Gamma}\)
      2. \([\mathbf{u}]_{\Omega}\)
      3. \([\mathbf{v}]_{\Gamma}\)
      4. \([\mathbf{v}]_{\Omega}\)

    2. Trouvez une matrice \(\mathbf{A}\in \mathbb{R}^{2\times 2}\) telle que \([\mathbf{v}]_\Omega = \mathbf{A} [\mathbf{v}]_\Gamma\) pour tout \(\mathbf{v} \in \mathbb{R}^2\).

Solutions

      1. \(\begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}\)
      2. \(\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}\)
      3. \(\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}\)
      4. \(\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 4 & 7 \\ -3 & -5 \end{bmatrix}\)