Chapitre 10 Orthogonalité

Ce chapitre introduit les bases orthogonales et orthonormées d’un espace vectoriel muni d’un produit scalaire. L’importante notion d’orthogonalité de vecteurs est réintroduite et ses propriétés sont déduites. L’orthogonalité a d’importantes applications dans plusieurs domaines tels que ingénierie et les statistiques. Une maîtrise solide des concepts de ce chapitre est essentielle pour toute étude approfondie des applications qui requièrent l’orthogonalité. La maîtrise du matériel de ce chapitre permet de :

• Définir les bases orthogonales et orthonormées.
• Décrire le procédé de Gram-Schmidt.
• Construire une base orthogonale et orthonormée d’un sous-espace d’un espace vectoriel muni d’un produit scalaire.
• Définir la somme directe et les projections orthogonales.
• Énoncer, démontrer et appliquer la formule de projection orthogonale.
• Obtenir une décomposition QR pour une matrice réelle.
• Énoncer et démontrer le théorème des axes principaux.
• Obtenir une diagonalisation orthogonale d’une matrice symétrique réelle.
• Résoudre des problèmes de minimisation de fonctions quadratiques.

Les connaissances requises pour ce chapitre incluent l’algèbre des matrices, les espaces vectoriels, et les produits scalaires.