4.6 Résolution d’équations matricielles

Soient $\mathbb{K}$ un corps et $m$, $n$, $p$ des entiers positifs. Soient $\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{m \times n}$ et $\mathbf{B} \in \mathbb{K}^{n \times p}$.

On obtient $\mathbf{X} \in \mathbb{K}^{n \times p}$ satisfaisant à $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}$ en résolvant $\mathbf{A}\mathbf{X}_i = \mathbf{B}_i$ pour chaque $i = 1,\ldots,p.$

Nous sommes donc intéressés à résoudre le système $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$ pour différents uplets $\mathbf{b}$, ce que l’on peut faire simplement en formant une matrice augmentée généralisée et appliquant la réduction tel qu’illustré à l’exemple suivant.

Exemple 4.7 Soient $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ et $\mathbf{b}' = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1\end{bmatrix}$ des matrices réelles. On trouve toutes les solutions de chacun des systèmes $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$ et $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}'$, où $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}$.

Si on réduit $\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{b}\end{bmatrix}$ à $\begin{bmatrix} \mathbf{R} & \mathbf{d}\end{bmatrix}$ et $\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{b}'\end{bmatrix}$ à $\begin{bmatrix} \mathbf{R}' & \mathbf{d}'\end{bmatrix}$, on doit avoir $\mathbf{R} = \mathbf{R}'$ puisque ce sont toutes deux des FER de $\mathbf{A}$, qui est unique. Ainsi, la même suite d’opérations élémentaires sur les lignes appliquée au système $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$ réduit $\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{b}'\end{bmatrix}$ à $\begin{bmatrix} \mathbf{R}' & \mathbf{d}'\end{bmatrix}$. Conséquemment, nous pouvons réduire $\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{b} & \mathbf{b}'\end{bmatrix}$ pour résoudre les deux systèmes simultanément : $$\begin{align*} \left[\begin{array}{rrr|rr} 1 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 2 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right] & \xrightarrow{L_2 \leftarrow L_2 + L_1} \left[\begin{array}{rrr|rr} 1 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 5\\ 1 & 2 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right] \\ & \xrightarrow{L_3 \leftarrow L_3 - L_1} \left[\begin{array}{rrr|rr} 1 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 5\\ 0 & 2 & 0 & 1 &-2 \end{array}\right]\\ & \xrightarrow{L_3 \leftarrow L_3 - L_2} \left[\begin{array}{rrr|rr} 1 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 0 &-7 \end{array}\right] \\ & \xrightarrow{L_2 \leftarrow \frac{1}{2} L_2} \left[\begin{array}{rrr|rr} 1 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2}\\ 0 & 0 & 0 & 0 &-7 \end{array}\right] \end{align*}$$

Dans cette dernière matrice augmentée, les quatre premières colonnes forment la matrice réduite de $\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{b}\end{bmatrix},$ tandis que les trois premières colonnes et la dernière colonne forment la matrice réduite de $\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{b}'\end{bmatrix}$. Ainsi, $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$ admet $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} t\\\frac{1}{2}\\t \end{bmatrix}$ comme solution pour tout $t \in \mathbb{R},$ mais $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}'$ n’admet aucune solution. Autrement dit, il y a une infinité de manières d’exprimer $\mathbf{b}$ en tant que combinaison linéaire des colonnes de $\mathbf{A},$ mais aucune façon de le faire pour $\mathbf{b}'.$ Cette interprétation sera revisitée lorsque l’on parlera de l’espace des colonnes d’une matrice.

Exercice

1. Soient $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b}' = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3\end{bmatrix}$ et $\mathbf{b}'' = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -1\end{bmatrix}$ des matrices réelles. Déterminez toutes les solutions de chacun des systèmes $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$, $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}'$, et $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}''$.

Solution

1. La FER de $\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{b} & \mathbf{b}' & \mathbf{b}''\end{bmatrix}$ est $$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -5 & -7 & 10 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & -3 \end{array}\right].$$ Ainsi,

   • $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$ admet l’unique solution $\begin{bmatrix} -5 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$,

   • $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}'$ admet l’unique solution $\begin{bmatrix} -7 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix}$,

   • $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}''$ admet l’unique solution $\begin{bmatrix} 10 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix}$.