4.6 Résolution d’équations matricielles
Soient \(\mathbb{K}\) un corps et \(m\), \(n\), \(p\) des entiers positifs. Soient \(\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{m \times n}\) et \(\mathbf{B} \in \mathbb{K}^{n \times p}\).
On obtient \(\mathbf{X} \in \mathbb{K}^{n \times p}\) satisfaisant à \(\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}\) en résolvant \(\mathbf{A}\mathbf{X}_i = \mathbf{B}_i\) pour chaque \(i = 1,\ldots,p.\)
Nous sommes donc intéressés à résoudre le système \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) pour différents uplets \(\mathbf{b}\), ce que l’on peut faire simplement en formant une matrice augmentée généralisée et appliquant la réduction tel qu’illustré à l’exemple suivant.
Exemple 4.7 Soient \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) et \(\mathbf{b}' = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1\end{bmatrix}\) des matrices réelles. On trouve toutes les solutions de chacun des systèmes \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) et \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}'\), où \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\).
Si on réduit \(\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{b}\end{bmatrix}\) à \(\begin{bmatrix} \mathbf{R} & \mathbf{d}\end{bmatrix}\) et \(\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{b}'\end{bmatrix}\) à \(\begin{bmatrix} \mathbf{R}' & \mathbf{d}'\end{bmatrix}\), on doit avoir \(\mathbf{R} = \mathbf{R}'\) puisque ce sont toutes deux des FER de \(\mathbf{A}\), qui est unique. Ainsi, la même suite d’opérations élémentaires sur les lignes appliquée au système \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) réduit \(\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{b}'\end{bmatrix}\) à \(\begin{bmatrix} \mathbf{R}' & \mathbf{d}'\end{bmatrix}\). Conséquemment, nous pouvons réduire \(\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{b} & \mathbf{b}'\end{bmatrix}\) pour résoudre les deux systèmes simultanément : \[\begin{align*} \left[\begin{array}{rrr|rr} 1 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 2 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right] & \xrightarrow{L_2 \leftarrow L_2 + L_1} \left[\begin{array}{rrr|rr} 1 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 5\\ 1 & 2 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right] \\ & \xrightarrow{L_3 \leftarrow L_3 - L_1} \left[\begin{array}{rrr|rr} 1 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 5\\ 0 & 2 & 0 & 1 &-2 \end{array}\right]\\ & \xrightarrow{L_3 \leftarrow L_3 - L_2} \left[\begin{array}{rrr|rr} 1 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 0 &-7 \end{array}\right] \\ & \xrightarrow{L_2 \leftarrow \frac{1}{2} L_2} \left[\begin{array}{rrr|rr} 1 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2}\\ 0 & 0 & 0 & 0 &-7 \end{array}\right] \end{align*}\]
Dans cette dernière matrice augmentée, les quatre premières colonnes forment la matrice réduite de \(\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{b}\end{bmatrix},\) tandis que les trois premières colonnes et la dernière colonne forment la matrice réduite de \(\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{b}'\end{bmatrix}\). Ainsi, \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) admet \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} t\\\frac{1}{2}\\t \end{bmatrix}\) comme solution pour tout \(t \in \mathbb{R},\) mais \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}'\) n’admet aucune solution. Autrement dit, il y a une infinité de manières d’exprimer \(\mathbf{b}\) en tant que combinaison linéaire des colonnes de \(\mathbf{A},\) mais aucune façon de le faire pour \(\mathbf{b}'.\) Cette interprétation sera revisitée lorsque l’on parlera de l’espace des colonnes d’une matrice.
Exercice
- Soient \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{b}' = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3\end{bmatrix}\) et \(\mathbf{b}'' = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -1\end{bmatrix}\) des matrices réelles. Déterminez toutes les solutions de chacun des systèmes \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\), \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}'\), et \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}''\).
Solution
La FER de \(\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{b} & \mathbf{b}' & \mathbf{b}''\end{bmatrix}\) est \[\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -5 & -7 & 10 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & -3 \end{array}\right].\] Ainsi,
\(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) admet l’unique solution \(\begin{bmatrix} -5 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}\),
\(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}'\) admet l’unique solution \(\begin{bmatrix} -7 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix}\),
\(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}''\) admet l’unique solution \(\begin{bmatrix} 10 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix}\).